Информация о задаче

Задача 54476

Темы:	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]
Темы:	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Дан параллелограмм ABCD со сторонами AB = 2 и BC = 3. Найдите площадь этого параллелограмма, если известно, что диагональ AC перпендикулярна отрезку BE, соединяющему вершину B с серединой E стороны AD.

Подсказка

Найдите отношение ${\frac{BO}{OE}}$ .

Решение

Пусть O — точка пересечения отрезков AC и BE. Из подобия треугольников BOC и EOA следует, что BO = 2OE и OC = 2OA. Обозначим OE = x, AO = y. Тогда BO = 2x. Из прямоугольных треугольников AOB и AOE по теореме Пифагора находим, что

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} 4x^{2}+y^{2} = 4\\ x^{2} + y^{2} = \frac{9}{4}.\\ \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{lll} 4x^{2}+y^{2} = 4\\ x^{2} + y^{2} = \frac{9}{4}.\\ \end{array}$

Из этой системы находим, что x = ${\frac{7}{2\sqrt{3}}}$ , y = ${\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}}$ . Тогда

S_AOE = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ xy = $\displaystyle {\frac{\sqrt{35}}{12}}$ , S_ABE = 3S_AOE = $\displaystyle {\frac{\sqrt{35}}{4}}$ .

Следовательно,

S_ABCD = 4S_ABE = $\displaystyle \sqrt{35}$ .

Ответ

$\sqrt{35}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2240