Задача 54449

Темы:    [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла C проведены биссектриса  CL = a  и медиана  CM = b.  Найдите площадь треугольника ABC.

Подсказка

С помощью формулы для площади треугольника выразите биссектрису CL через катеты.

Решение

  Заметим, что  AB = 2b.  Обозначим  BC = x,  AC = y.  Тогда  S_ABC = S_BCL + S_ACL,  или    то есть  x + y = .
  По теореме Пифагора  x² + y² = 4b²,  поэтому  (x + y)² – 2xy = 4b²,  (xy)² – a²xy – 2a²b² = 0.
  Решая последнее квадратное уравнение относительно xy, получим, что  

Ответ

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2213