Задача 54448

Темы:    [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла C проведены биссектриса CL и медиана CM.

Найдите площадь треугольника ABC, если  LM = a,  CM = b.

Решение

  Заметим, что  AM = MB = b.  Обозначим  BC = x,  AC = y.  Пусть  x < y.  Тогда по свойству биссектрисы треугольника  ^x/_y = ^BL/_AL = ^b–a/_b+a.  Отсюда
^x–y/_x+y = ^a/_b.  Следовательно,  

  По теореме Пифагора  x² + y² = 4b²,  поэтому  

Ответ

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2212