ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 54442
Темы:    [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC медианы AE и BD, проведённые к сторонам BC и AC, пересекаются под прямым уголом. Сторона BC равна a. Найдите другие стороны треугольника ABC, если AE2 + BD2 = d2.


Подсказка

Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины.


Решение

Пусть O — точка пересечения медиан. Обозначим OE = x, OD = y. Тогда

AO = 2xBO = 2yAE = 3xBD = 3y,

и по условию задачи

9x2 + 9y2 = 9(x2 + y2) = d2.

Следовательно,

AB2 = 4x2 + 4y2 = 4(x2 + y2) = $\displaystyle {\textstyle\frac{4}{9}}$d2.

Поэтому

AB = $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$dAC = 2AD = 2$\displaystyle \sqrt{AO^{2} + DO^{2}}$ = 2$\displaystyle \sqrt{4x^{2}+ y^{2}}$,

а x и y найдем из системы уравнений

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll}
x^{2} + y^{2} = \frac{d^{2}}{9}\\
x^{2} + 4y^{2} = \frac{a^{2}}{4}.\\
\end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}{lll}
x^{2} + y^{2} = \frac{d^{2}}{9}\\
x^{2} + 4y^{2} = \frac{a^{2}}{4}.\\
\end{array}$


Ответ

$ {\frac{2d}{3}}$, $ \sqrt{\frac{20d^{2}}{9} - a^{2}}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 2206

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .