Задача 54440

Темы:    [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC медианы, проведённые к сторонам AC и BC, пересекаются под прямым углом. Известно, что AC = b и BC = a. Найдите AB.

Подсказка

Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины.

Решение

Пусть M и N — середины сторон AC и BC треугольника ABC, O - точка пересечения медиан BM и AN. Обозначим OM = x, ON = y. Тогда BO = 2OM = 2x, AO = 2ON = 2y.

Из прямоугольных треугольников AOM и BON находим, что

AM² = AO² + OM², BN² = BO² + ON²,

или

Сложив почленно эти равенства, получим, что

5(x² + y²) = .

Поэтому x² + y² = .

Из прямоугольного треугольника AOB находим:

AB² = AO² + BO² = 4y² + 4x² = 4(y² + x²) = .

Пусть M и N — середины сторон AC и BC треугольника ABC, O - точка пересечения медиан BM и AN. Обозначим OM = x, ON = y. Тогда BO = 2OM = 2x, AO = 2ON = 2y.

Из прямоугольных треугольников AOM и BON находим, что

AM² = AO² + OM², BN² = BO² + ON²,

или

Сложив почленно эти равенства, получим, что

5(x² + y²) = .

Поэтому x² + y² = .

Из прямоугольного треугольника AOB находим:

AB² = AO² + BO² = 4y² + 4x² = 4(y² + x²) = .

Пусть M и N — середины сторон AC и BC треугольника ABC, O - точка пересечения медиан BM и AN. Обозначим OM = x, ON = y. Тогда BO = 2OM = 2x, AO = 2ON = 2y.

Из прямоугольных треугольников AOM и BON находим, что

AM² = AO² + OM², BN² = BO² + ON²,

или

Сложив почленно эти равенства, получим, что

5(x² + y²) = .

Поэтому x² + y² = .

Из прямоугольного треугольника AOB находим:

AB² = AO² + BO² = 4y² + 4x² = 4(y² + x²) = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2204