Задача 54410

Темы:    [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ] [ Ромбы. Признаки и свойства ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Прямая, параллельная гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC, пересекает катет AC в точке D, а катет BC – в точке E, причём  DE = 2,  а  BE = 1.  На гипотенузе взята точка F, причём  BF = 1.  Известно также, что  ∠FCB = α.  Найдите площадь треугольника ABC.

Решение

  Пусть H – середина DE. Тогда HFBE – ромб.

  Поскольку  CH = ½ DE = 1,  то треугольник CHF – равнобедренный. Поэтому  ∠HCF = ∠HFC = ∠FCB = α.  Значит,  ∠B = ∠DEC = ∠HCB = 2α.
  Следовательно,  CE = 2cos 2α,  BC = 2cos 2α + 1,  AC = BC tg∠B = (2cos 2α + 1) tg 2α.
  Следовательно,  S_ABC = ½ BC·AC = ½ (2cos 2α + 1)² tg 2α.

Ответ

½ (2cos 2α + 1)² tg 2α.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2174