Информация о задаче

Задача 54405

Темы:	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]
Темы:	[	Метод координат на плоскости	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что сумма квадратов расстояний от произвольной точки плоскости до двух противоположных вершин прямоугольника равна сумме квадратов расстояний от этой точки до двух других вершин прямоугольника.

Подсказка

Обозначьте через x, y, z и t расстояния от произвольной точки плоскости до прямых, содержащих стороны прямоугольника, и примените теорему Пифагора (или воспользуйтесь методом координат).

Решение

Первый способ.

Пусть M — произвольная точка плоскости, ABCD — прямоугольник. Обозначим через x, y, z и t — расстояния от точки M до прямых AB, BC, CD и AD соответственно. Тогда

MA² + MC² = (x² + t²) + (y² + z²) =

= (x² + y²) + (t² + z²) = MB² + MD².

Второй способ.

Введём декартову прямоугольную систему координат. Поместим начало координат в вершину A прямоугольника ABCD, а оси координат направим по лучам AB и AD. Пусть AB = a, AD = b. Тогда вершины прямоугольника будут иметь следующие координаты:

A(0;0), B(a;0), C(a;b), D(0;b).

Пусть M(x;y) — произвольная точка плоскости. По формуле для квадрата расстояние между двумя точками

MA² + MC² = $\displaystyle \left(\vphantom{x^{2}+y^{2}}\right.$ x² + y² $\displaystyle \left.\vphantom{x^{2}+y^{2}}\right)$ + $\displaystyle \left(\vphantom{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}\right.$ (x - a)² + (y - b)² $\displaystyle \left.\vphantom{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}\right)$ ,

MB² + MD² = $\displaystyle \left(\vphantom{(x-a)^{2}+y^{2}}\right.$ (x - a)² + y² $\displaystyle \left.\vphantom{(x-a)^{2}+y^{2}}\right)$ + $\displaystyle \left(\vphantom{x^{2}+(y-b)^{2}}\right.$ x² + (y - b)² $\displaystyle \left.\vphantom{x^{2}+(y-b)^{2}}\right)$ .

Из полученных равенств следует, что

MA² + MC² = MB² + MD².

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2169