Информация о задаче

Задача 54402

Темы:	[	Теорема косинусов	]
Темы:	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC угол A равен arccos ${\frac{7}{8}}$ , BC = a, а высота, опущенная из вершины A, равна сумме двух других высот. Найдите площадь треугольника ABC.

Подсказка

Обозначьте AC = x, AB = y, составьте систему уравнений и выразите из неё xy.

Решение

Поскольку cos $\angle$ A = ${\frac{7}{8}}$ , то

sin $\displaystyle \angle$ A = $\displaystyle \sqrt{1-\left(\frac{7}{8}\right)^{2}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{15}}{8}}$ .

Пусть AM, CD и BE — высоты треугольника ABC. Обозначим AC = x, AB = y. По теореме косинусов из треугольника ABC находим, что

BC² = AC² + AB² - 2AC^.AB cos $\displaystyle \angle$ A, или a² = x² + y² - $\displaystyle {\frac{7xy}{4}}$ .

Кроме того,

S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ a^.AM = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ x^.BE = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ y^.CD, CD + BE = AM.

Из этих равенств следует, что

$\displaystyle {\frac{2S_{\Delta ABC}}{x}}$ + $\displaystyle {\frac{2S_{\Delta ABC}}{y}}$ = $\displaystyle {\frac{2S_{\Delta ABC}}{a}}$ ,

или

$\displaystyle {\frac{1}{x}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{y}}$ = $\displaystyle {\frac{1}{a}}$ $\displaystyle \Leftrightarrow$ a(x + y) = xy.

Из системы уравнений

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} x^{2}+ y^{2} - \frac{7xy}{4} = a^{2}\\ a(x+y) = xy\\ \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{lll} x^{2}+ y^{2} - \frac{7xy}{4} = a^{2}\\ a(x+y) = xy\\ \end{array}$

находим, что xy = 4a². Следовательно,

S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ xy sin $\displaystyle \angle$ A = $\displaystyle {\frac{a^{2}\sqrt{15}}{4}}$ .

Ответ

${\frac{a^{2}\sqrt{15}}{4}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2165