Задача 54400

Темы:    [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Периметр треугольника ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Периметр прямоугольного треугольника ABC  (∠C = 90°)  равен 72, а разность между медианой CK и высотой CM равна 7.
Найдите площадь треугольника ABC.

Решение

  Обозначим  AC = b,  BC = a,  CK = x.  Тогда  AB = 2x,  CM = x – 7.  По условию   a + b = 72 – 2x.
  Поскольку  2S_ABC = ab = 2x(x – 7),  (a + b)² – (a² + b²) = 2ab,  то  4(36 – x)² – 4x² = 4x(x – 7).  Отсюда  (36 – x)² – x² = x² – 7x,  x² + 65x – 1296 = 0,  
  Следовательно,  S_ABC = x(x – 7) = 16·9 = 144.

Ответ

144.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2163