Информация о задаче

Задача 54372

Темы:	[	Ромбы. Признаки и свойства	]
	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]
	[	Признаки и свойства касательной	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Из вершины тупого угла ромба ABCD проведены высоты BM и BN. В четырёхугольник BMDN вписана окружность радиуса 1. Найдите сторону ромба, если $\angle$ ABC = 2arctg2.

Подсказка

Найдите синус острого угла ромба.

Решение

Пусть данная окружность с центром в точке O касается отрезка AD в точке K, а отрезка BN — в точке P. Обозначим $\angle$ DBC = $\alpha$ . Тогда

tg $\displaystyle \alpha$ = 2, DK = $\displaystyle {\frac{OK}{{\rm tg }\alpha}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ , KN = OP = 1,

DN = DK + KN = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ + 1 = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{2}}$ , BN = DNtg $\displaystyle \alpha$ = 3,

AB = $\displaystyle {\frac{BN}{\sin \angle A}}$ = $\displaystyle {\frac{BN}{\sin (180^{\circ} - 2\alpha)}}$ = $\displaystyle {\frac{3}{\sin 2\alpha}}$ ,

sin 2 $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{2{\rm tg }\alpha}{1 + {\rm tg }^{2}\alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{4}{1 + 4}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{4}{5}}$ .

Следовательно,

AB = $\displaystyle {\frac{3}{\frac{4}{5}}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{15}{4}}$ .

Ответ

${\frac{15}{4}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2135