Информация о задаче

Задача 54300

Темы:	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
	[	Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности)	]
	[	Формула Герона	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольник вписана окружность радиуса 4. Одна из сторон треугольника разделена точкой касания на части, равные 6 и 8. Найдите две другие стороны треугольника.

Подсказка

Выразите площадь данного треугольника по формуле S = pr и по формуле Герона.

Решение

Пусть K, M, N — точки касания вписанной окружности со сторонами соответственно BC, AC и AB треугольника ABC; BK = 8, KC = 6. Тогда CM = KC = 6, BN = BK = 8.

Обозначим AM = AN = x. Поскольку площадь треугольника равна произведению полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности, то

S_ABC = (8 + 6 + x)4 = (14 + x)4.

С другой стороны, по формуле Герона

S_ABC = $\displaystyle \sqrt{(14+x)\cdot 6\cdot 8\cdot x}$ .

Решив уравнение

4(14 + x) = $\displaystyle \sqrt{(14+x)\cdot 6\cdot 8\cdot x}$ ,

найдём, что x = 7. Следовательно,

AC = x + 6 = 13, AB = x + 8 = 15.

Ответ

13 и 15.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2063