Информация о задаче

Задача 54293

Темы:	[	Перенос стороны, диагонали и т.п.	]
	[	Площадь трапеции	]
	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В трапеции ABCD углы A и D при основании AD соответственно равны 60^o и 30^o. Точка N лежит на основании BC, причём BN : NC = 2. Точка M лежит на основании AD, прямая MN перпендикулярна основаниям трапециии и делит её площадь пополам. Найдите отношение AM : MD.

Подсказка

Обозначьте NC = a и выразите через a высоту трапеции.

Решение

Обозначим NC = a, NM = h. Проведём через точку N прямые, параллельные AB и CD, до пересечения с основанием AD в точках P и Q соответственно. Тогда

AP = BN = 2a, QD = NC = a,

PM = hctg60^o = $\displaystyle {\frac{h\sqrt{3}}{3}}$ , QM = hctg30^o = h $\displaystyle \sqrt{3}$ .

Из равенства площадей трапеций ABNM и MNCD следует, что

BN + AM = NC + MD, или 2a + 2a + $\displaystyle {\frac{h\sqrt{3}}{3}}$ = a + a + h $\displaystyle \sqrt{3}$ .

Отсюда находим, что h = a $\sqrt{3}$ . Следовательно,

AM = 2a + a = 3a, MD = 3a + a = 4a, AM : MD = 3 : 4.

Ответ

3:4.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2056