Задача 54292

Темы:    [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Диаметр, основные свойства ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Гипотенуза KM прямоугольного треугольника KMP является хордой окружности радиуса . Вершина P находится на диаметре, который параллелен гипотенузе. Расстояние от центра окружности до гипотенузы равно . Найдите острые углы треугольника KMP.

Подсказка

Пусть O – центр окружности, A – середина KM. Рассмотрите треугольник OAM.

Решение

  Пусть O – центр данной окружности, OA – перпендикуляр к гипотенузе. Тогда A – середина гипотенузы. По теореме Пифагора  AM² = OM² – OA² = 4.  Значит,  AP = AK = AM = 2.

  Пусть PB – высота треугольника KMP. Тогда   PB = OA = .  Поэтому  ^PB/_AP = .
  Следовательно, треугольник KAP равносторонний и  ∠MKP = 60°.

Ответ

30°, 60°.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2055