Задача 54289

Темы:    [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Точка на гипотенузе, равноудалённая от обоих катетов, делит гипотенузу на отрезки длиной 30 и 40. Найдите катеты треугольника.

Подсказка

Точка, равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе.

Решение

Пусть M – указанная точка на гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC. Тогда CM – биссектриса треугольника ABC. По свойству биссектрисы треугольника  AC : BC = 4 : 3,  то есть этот треугольник подобен треугольнику со сторонами 3, 4, 5. Поскольку  70 = 14·5,  то  BC = 14·3 = 42,
AC = 14· 4 = 56.

Ответ

42 и 56.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2052