Информация о задаче

Задача 54286

Темы:	[	Длины сторон, высот, медиан и биссектрис	]
	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]
	[	Применение тригонометрических формул (геометрия)	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Найдите площадь треугольника, если две его стороны равны 35 и 14 см, а биссектриса угла между ними равна 12 см.

Подсказка

Пусть AK - данная биссектриса треугольника ABC. Найдите sin $\angle$ А из уравнения S(ABC) = S(ACK) + S(ABK).

Решение

Пусть AK - биссектриса треугольника ABC, AC = 35, AB = 14, AK = 12. Обозначим $\angle$ CAB = 2 $\alpha$ .

Поскольку S(ABC) = S(ACK) + S(ABK), то

(1/2)^.AC^.AB^.sin 2 $\displaystyle \alpha$ = (1/2)^.AC^.AK^.sin $\displaystyle \alpha$ + (1/2)^.AB^.AK^.sin $\displaystyle \alpha$ .

Применив формулу sin 2 $\alpha$ = 2^.sin $\alpha$ ^.cos $\alpha$ , найдем из полученного уравнения, что cos $\alpha$ = 3/5. Отсюда следует, что sin $\alpha$ = 4/5 и sin 2 $\alpha$ = 24/25. Тогда

S(ABC) = (1/2)^.AC^.AB^.sin 2 $\displaystyle \alpha$ = (1/2)^.35^.14^.(24/25) = 235, 2.

Ответ

235,2.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2049