Информация о задаче

Задача 54284

Темы:	[	Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$	]
	[	Площадь трапеции	]
	[	Перенос стороны, диагонали и т.п.	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Основания трапеции равны a и b, углы при большем основании равны 30^o и 45^o. Найдите площадь трапеции.

Подсказка

Через вершину меньшего основания проведите прямую, параллельную боковой стороне трапеции.

Решение

Пусть a > b. Через вершину C меньшего основания BC трапеции ABCD проведём прямую, параллельную боковой стороне AB, до пересечения с основанием AD в точке M, и перпендикуляр CK к AD.

Пусть $\angle$ A = 45^o, $\angle$ D = 30^o. Обозначим CK = h. Тогда

MK = KC = h, KD = $\displaystyle \sqrt{3}$ KC = h $\displaystyle \sqrt{3}$ ;

MD = AD - AM = AD - BC = a - b.

С другой стороны,

MD = MK + KD = h + h $\displaystyle \sqrt{3}$ = h( $\displaystyle \sqrt{3}$ + 1) = a - b.

Отсюда находим, что h = ${\frac{a - b}{\sqrt{3} + 1}}$ . Следовательно,

S_ABCD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (AD + BC)CK =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^. $\displaystyle {\frac{(a + b)(a - b)}{\sqrt{3} + 1}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ (a² - b²)( $\displaystyle \sqrt{3}$ - 1).

Ответ

${\frac{1}{4}}$ (a² - b²)( $\sqrt{3}$ - 1).

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2047