Задача 54238

Темы:    [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

Условие

Докажите, что высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна произведению катетов, делённому на гипотенузу.

Подсказка

Данная высота отсекает от треугольника подобный ему треугольник.

Решение

  Пусть CD – высота прямоугольного треугольника ABC, AB – гипотенуза.

  Первый способ. Из подобия треугольников CDB и ACB (по двум углам) следует, что  CD : BC = AC : AB.  Отсюда  CD = BC·^AC/_AB.

  Второй способ.  2S_ABC = BC·AC = AB·CD.  Отсюда  CD = BC·^AC/_AB.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2001