Задача 54228

Темы:    [ Признаки подобия ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Через середину гипотенузы прямоугольного треугольника проведён к ней перпендикуляр. Отрезок этого перпендикуляра, заключённый внутри треугольника, равен c, а отрезок, заключённый между одним катетом и продолжением другого, равен 3c. Найдите гипотенузу.

Решение

Пусть M – середина гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC, N и K – точки пересечения перпендикуляра к AB, проходящего через точку M, с катетом AC и продолжением катета BC соответственно. Обозначим  AM = BM = x.  В силу очевидного подобия треугольников AMN и KMB
∠BKM = ∠BAC = α,  поэтому  MN : AM = BM : MK, или  ^c/_x = ^x/_4c,  откуда  x = 2c.  Следовательно,  AB = 2x = 4c.

Ответ

4c.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1991