Задача 54138

Темы:    [ Средняя линия треугольника ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В выпуклом четырёхугольнике ABCD отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен отрезку, соединяющему середины сторон AD и BC . Найдите угол, образованный продолжением сторон AB и CD .

Решение

Пусть M и N — середины диагоналей соответственно AC и BD данного четырёхугольника ABC , P и Q — середины сторон соответственно AD и BC , MN=PQ .
Отрезки MQ и PN — средние линии треугольников ABC и ABD , поэтому MQ || AB , MQ=AB , PN || AB , PN=AB , значит, MQ || PN и MQ=PN . Следовательно, четырёхугольник MPNQ — параллелограмм, а т.к. его диагонали MN и PQ равны, то это прямоугольник.
Отрезок NQ — средняя линия треугольника CBD , поэтому NQ || CD . Прямые MQ и NQ перпендикулярны, значит, перпендикулярны и соответственно параллельные им прямые AB и CD , следовательно, угол, образованный продолжением сторон AB и CD равен 90^o .

Ответ

90^o .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1901