Задача 54135

Темы:    [ Средняя линия треугольника ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Сторона треугольника равна a. Найдите отрезок, соединяющий середины медиан, проведённых к двум другим сторонам.

Подсказка

Воспользуйтесь теоремой о средней линии треугольника.

Решение

  Пусть K и L – середины медиан соответственно BM и CN треугольника ABC со стороной BC, равной a.

  Первый способ. Если F – середина MC, то FL – средняя линия треугольника MCN, а FK – средняя линия треугольника BMC, поэтому  FL || MN || BC || KF.  Значит, точки K, L и F лежат на одной прямой. Следовательно,  KL = KF – FL = ½ BC – ½ MN = ^a/₂ – ^a/₄ = ^a/₄.

  Второй способ. Если P – середина BC, то MP – средняя линия треугольника ABC, а так как медиана CN и средняя линия MP делят друг друга пополам, то точки M, L и P лежат на одной прямой. Аналогично, точки N, K и P лежат на одной прямой. Значит, KL – средняя линия треугольника MPN. Следовательно,  KL = ½ MN = ¼ BC = ^a/₄.

Ответ

^a/₄.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1898