ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 54132
Темы:    [ Пересекающиеся окружности ]
[ Средняя линия треугольника ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку A проведены диаметры AC и AD этих окружностей. Найдите модуль разности отрезков BC и BD, если расстояние между центрами окружностей равно a, а центры окружностей лежат по одну сторону от общей хорды AB.


Подсказка

Докажите, что точки C, B и D лежат на одной прямой и воспользуйтесь теоремой о средней линии треугольника.


Решение

Поскольку точка B лежит на окружностях с диаметрами AC и AD, то отрезки AC и AD видны из этой точки под прямыми углами, т.е.

$\displaystyle \angle$ABC = $\displaystyle \angle$ABD = 90o.

Поэтому точки C, B и D лежат на одной прямой, а т.к. центры окружностей лежат по одну сторону от прямой AB, то точка B лежит вне отрезка CD. Значит, | BC - BD| = CD.

Пусть O1 и O2 — центры окружностей с диаметрами AC и AD. Тогда O1O2 — средняя линия треугольника ACD. Следовательно,

| BC - BD| = CD = 2O1O2 = 2a.


Ответ

2a.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 1895

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .