Задача 54131

Темы:    [ ГМТ и вписанный угол ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку A проведены диаметры AC и AD этих окружностей. Найдите сумму отрезков BC и BD, если расстояние между центрами окружностей равно a, а центры окружностей лежат по разные стороны от общей хорды AB.

Подсказка

Докажите, что точки C, B и D лежат на одной прямой и воспользуйтесь теоремой о средней линии треугольника.

Решение

Поскольку точка B лежит на окружностях с диаметрами AC и AD, то отрезки AC и AD видны из этой точки под прямыми углами, т.е.

ABC = ABD = 90^o.

Поэтому точки C, B и D лежат на одной прямой, а т.к. центры окружностей лежат по разные стороны от прямой AB, то точка B лежит между точками C и D. Значит, BC + BD = CD.

Пусть O₁ и O₂ — центры окружностей с диаметрами AC и AD. Тогда O₁O₂ — средняя линия треугольника ACD. Следовательно,

BC + BD = CD = 2 ^. O₁O₂ = 2a.

Ответ

2a.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1894