Задача 54126

Темы:    [ Средняя линия треугольника ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна отрезку, соединяющему середины катетов.

Решение

Пусть M – середина гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC, а точки K и N – середины катетов AC и BC соответственно.

Первый способ. MK и MN – средние линии треугольника ABC,  MK || BC,  MN || AC,  а так как  AC ⊥ BC,  то  MK ⊥ AC  и  MN ⊥ BC.  Следовательно, CNMK – прямоугольник, поэтому его диагонали KN и CM равны между собой.

Второй способ. Медиана CM равна половине гипотенузы AB, то есть средней линии KN.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1889