Задача 54116

Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD, P – проекция вершины C на прямую AB, M – середина стороны AD.
Докажите, что  ∠DMP = 3∠APM.

Подсказка

Пусть N – середина стороны BC. Тогда PN – медиана прямоугольного треугольника BPC, проведённая к гипотенузе BC.

Решение

Пусть N – середина стороны BC, K – точка пересечения BC и PM. Обозначим  ∠APM = α.  Тогда PN – медиана прямоугольного треугольника BPC, проведённая к гипотенузе BC, поэтому  PN = BN = AB = MN,  а так как  MN || BP,  то  ∠MPN = ∠PMN = ∠BPK = α,  ∠PBK = ∠BPN = 2α.  Следовательно,  ∠DMP = ∠CKP = ∠PBK + ∠BPK = 3α.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1879