Информация о задаче

Задача 54051

Темы:	[	Диаметр, основные свойства	]
Темы:	[	Признаки и свойства касательной	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Окружность касается одной стороны прямого угла с вершиной O и пересекает вторую сторону в точках A и B. Найдите радиус окружности, если OA = a и OB = b.

Подсказка

Опустите перпендикуляр из центра окружности на AB.

Решение

Пусть O₁ — центр окружности, C — точка касания окружности с первой стороной угла. Предположим, что a < b. Поскольку перпендикуляр O₁M, опущенный из центра окружности на хорду AB, делит эту хорду пополам, то

OM = OA + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (OB - OA) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (OA + OB) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (a + b),

а т.к. O₁C $\perp$ OC, то OCO₁M — прямоугольник. Следовательно,

O₁C = OM = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (a + b).

Аналогично для a > b.

Ответ

${\frac{a+b}{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1814