Задача 54028

Темы:    [ Неравенство треугольника ] [ Взаимное расположение двух окружностей ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Расстояние между центрами окружностей радиусов 2 и 3 равно 8. Найдите наименьшее и наибольшее из расстояний между точками, одна из которых лежит на первой окружности, а другая — на второй.

Подсказка

Докажите, что кратчайшее расстояние между точками двух окружностей, лежащих одна вне другой, равно отрезку линии центров, заключённому между окружностями.

Решение

Докажем, что кратчайшее расстояние между точками двух окружностей, лежащих одна вне другой, есть отрезок линии центров, заключённый между окружностями.

Пусть O₁ и O₂ — центры окружностей, а линия центров пересекает окружности в точках A и B, причём и A, и B — лежат между O₁ и O₂. Тогда, если X и Y — другие точки этих окружностей, то

XO₁ + XY + YO₂ > O₁O₂ = AO₁ + AB + BO₂.

Следовательно, XY > AB.

Пусть AM и BN — диаметры окружностей, а X и Y — точки окружностей, отличные от M и N. Тогда

XY < XO₁ + O₁O₂ + YO₂ = MO₁ + O₁O₂ + NO₂ = MN.

В нашей задаче AB = 3 и MN = 2 + 8 + 3 = 13.

Ответ

3 и 13.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1791