Информация о задаче

Задача 53985

Темы:	[	Угол между касательной и хордой	]
Темы:	[	Признаки и свойства касательной	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Прямая касается окружности с центром O в точке A. Точка C на этой прямой и точка D на окружности расположены по одну сторону от прямой OA. Докажите, что угол CAD вдвое меньше угла AOD.

Подсказка

Треугольник AOD — равнобедренный.

Решение

Поскольку точки C и O расположены по разные стороны от прямой AD, то луч AD расположен между сторонами угла OAC. Кроме того AO $\perp$ AC. Поэтому

$\displaystyle \angle$ CAD = $\displaystyle \angle$ CAO - $\displaystyle \angle$ OAD = 90^o - $\displaystyle \angle$ OAD.

Из равнобедренного треугольника DAO находим, что

$\displaystyle \angle$ AOD = 180^o - 2 $\displaystyle \angle$ OAD = 2(90^o - $\displaystyle \angle$ OAD) = 2 $\displaystyle \angle$ CAD.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1749