Задача 53968

Темы:    [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Окружность, вписанная в угол ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

К окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной, равной a, проведена касательная, пересекающая две его стороны. Найдите периметр отсечённого треугольника.

Подсказка

Примените теорему о равенстве отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки.

Решение

Пусть окружность, вписанная в равносторонний треугольник со стороной, равной a, касается сторон BC, AC и AB в точках A₁, B₁ и C₁ соответственно, а некоторая прямая пересекает стороны AB и AC соответственно в точках M и N и касается окружности в точке P. Поскольку AC₁ = AB₁ и AB = AC, то BC₁ = CB₁, а т.к. BA₁ = BC₁ и CA₁ = CB₁, то BA₁ = CA₁, т.е. A₁ — середина стороны BC. Аналогично докажем, что C₁ — середина AB и B₁ — середина AC.

Поскольку MP = MC₁ и NP = NB₁, то MN = MP + NP = MC₁ + NB₁, следовательно

AM + MN + AN = AM + (MC₁ + NB₁) + AN = (AM + MC₁) + (NB₁ + AN) =

= AC₁ + AB₁ = a + a = a.

Ответ

a.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1732