Задача 53940

Темы:    [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

Условие

Окружность, построенная на катете прямоугольного треугольника как на диаметре, делит гипотенузу пополам. Найдите углы треугольника.

Подсказка

Если медиана треугольника является его высотой, то треугольник равнобедренный.

Решение

Пусть окружность, построенная как на диаметре на катете AC прямоугольного треугольника ABC, пересекает гипотенузу AB в её середине M. Тогда
∠AMC = 90°.  Значит, CM – высота и медиана треугольника ABC. Поэтому треугольник ABC равнобедренный. Следовательно,  AC = BC,  ∠A = ∠B = 45°.

Ответ

45°, 45°, 90°.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1704