Задача 53934

Темы:    [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Окружность, построенная на стороне треугольника как на диаметре, проходит через середину другой стороны. Докажите, что треугольник равнобедренный.

Подсказка

Если высота треугольника является также медианой, то треугольник равнобедренный.

Решение

Пусть окружность, построенная на стороне AB треугольника ABC, пересекает сторону AC в её середине M. Поскольку точка M лежит на окружности с диаметром AB, то  ∠AMB = 90°.  Поэтому BM – высота и медиана треугольника ABC. Следовательно, треугольник ABC – равнобедренный.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1698