Задача 53933

Темы:    [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что окружность, построенная на боковой стороне равнобедренного треугольника как на диаметре, проходит через середину основания.

Подсказка

Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является также медианой.

Решение

Пусть окружность, построенная на боковой стороне AB равнобедренного треугольника ABC как на диаметре, пересекает основание AC в точке M, отличной от A. Поскольку точка M лежит на окружности с диаметром AB, то  ∠AMB = 90°.  Поэтому BM – высота треугольника ABC, а так как высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, является медианой, то M – середина основания AC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1697