Задача 53920

Темы:    [ Хорды и секущие (прочее) ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Найдите угол между радиусами OA и OB, если расстояние от центра O окружности до хорды AB:  а) вдвое меньше AB;  б) вдвое меньше OA.

Подсказка

Опустите перпендикуляр из центра окружности на хорду AB.

Решение

Опустим перпендикуляр OM из центра окружности на хорду AB.

а) В прямоугольном треугольнике OAM известно, что  OM = ½ AB = AM,  поэтому треугольник OAB – прямоугольный и равнобедренный. Значит,
∠AOM = 45°.  Следовательно,  ∠AOB = 2∠AOM = 90°.

б) В прямоугольном треугольнике OAM известно, что  OM = ½ OB,  поэтому  ∠MAO = 30°,  а  ∠AOM = 60°.  Следовательно,  ∠AOB = 2∠AOM = 120°.

Ответ

а) 90°;  б) 120°.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1684