Задача 53908

Темы:    [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Хорды и секущие (прочее) ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9

Условие

Докажите, что равные хорды удалены от центра окружности на равные расстояния.

Подсказка

Опустите перпендикуляры из центра окружности на данные хорды.

Решение

  Пусть AB и A₁B₁ – равные хорды окружности с центром O, не являющиеся диаметрами. Расстояния от центра окружности до этих хорд равны перпендикулярам OM и OM₁, опущенным на хорды из центра окружности. Поскольку M и M₁ – середины хорд, то  AM = ½ AB = ½ A₁B₁ = A₁M₁.
  Значит, прямоугольные треугольники AMO и A₁M₁O равны по катету и гипотенузе (радиус окружности). Следовательно,  OM = OM₁.
  Если AB и A₁B₁ – диаметры, то утверждение очевидно.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1673