Задача 53905

Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Признаки равенства прямоугольных треугольников ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

На каждой стороне правильного треугольника взято по точке. Стороны треугольника с вершинами в этих точках перпендикулярны сторонам исходного треугольника. В каком отношении каждая из взятых точек делит сторону исходного треугольника?

Подсказка

Докажите, что треугольник KLM также равносторонний.

Решение

Пусть точки K, L, M лежат соответственно на сторонах AB, BC и AC правильного треугольника ABC, причём  KL ⊥ BC,  LM ⊥ AC,  MK ⊥ AB. Тогда
∠MKL = 60°  (см. рис.). Аналогично  ∠KML = 60°.  Значит, треугольник KLM также равносторонний. Прямоугольные треугольники AKM, BLK и CML равны по гипотенузе и острому углу, а так как  CM = AK = ½ AM,  то  CM : AM = 1 : 2.  Аналогично   AK : KB = BL : LC = 1 : 2.

Ответ

1 : 2.

Замечания

Ср. с задачей 56829.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1670