ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53889
Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Признаки подобия ]
[ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На стороне AB квадрата ABCD взята точка E, а на стороне CD – точка F, причём  AE : EB = 1 : 2,  а  CF = FD.
Будут ли голубой и зелёный треугольники (см. рис.) подобны?


Подсказка

В каждом из указанных треугольников найдите отношение сторон, заключающих угол в 45°.


Решение

  Заметим, что  ∠NCF = ∠EAM = 45°.

  Первый способ. Из подобия треугольников CNF и ANB следует, что  CN = 1/3 AC,  а из подобия треугольников CMD и AME –  AM = ¼ AC.
  Если сторона квадрата ABCD равна 6, то CF = 3,  AE = 2,  AC = 6CN = 2AM = 3/2.  Поэтому  AM : AE = CF : CN,  и треугольники CNF и AEM подобны.

  Второй способ.  tg∠NFC = tg∠BFC = 2,  tg∠AEM = tg∠AED = 3,  tg∠NCF = tg 45° = 1.  Поэтому  tg∠CNF = – tg(∠NCF + ∠NFC) = – = 3.
  Следовательно,  ∠CNF = ∠AEM,  и треугольники CNF и AEM подобны по двум углам.


Ответ

Будут.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 1654

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .