Задача 53885

Темы:    [ Трапеции (прочее) ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Две пары подобных треугольников ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

На основании AD трапеции ABCD взяты точки K и L так, что  AK = LD.  Отрезки AC и BL пересекаются в точке M, отрезки KC и BD – в точке N.
Докажите, что отрезок MN параллелен основаниям трапеции.

Подсказка

Рассмотрите подобные треугольники.

Решение

  Рассмотрим случай, когда точка K расположена между точками A и L. Треугольник BMC подобен треугольнику LMA, а треугольник BNC – треугольнику DNK. Поэтому  BM : ML = BC : AL = BC : DK = BN : ND.
  Пусть N₁ – точка пересечения прямой, проходящей через точку M параллельно основаниям трапеции, с диагональю BD. По теореме о пропорциональных отрезках  BN₁ : N₁D = BM : ML.  Следовательно, точки N и N₁ совпадают, и отрезок MN параллелен основаниям трапеции.
  Для случая, когда точка L расположена между точками A и K доказательство аналогично.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1650