|
|
 |
Условие
На доске была начерчена трапеция, в ней была проведена средняя линия EF и опущен перпендикуляр OK из точки O пересечения диагоналей на большее основание. Затем трапецию стерли. Как восстановить чертеж по сохранившимся отрезкам EF и OK?
Решение
Первый способ. Предположим, что нужная трапеция ABCD построена. Пусть точки E и F – середины её боковых сторон AB и CD, K – проекция точки O пересечения диагоналей AC и BD на основание AD. Если Q – точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции, то прямая QO пересекает отрезки BC, EF и AD сооветственно в их серединах L, M и N. Рассмотрим случай, когда данные отрезки EF и OK
пересекаются в некоторой точке G, причём OG < KG.
Пусть H – точка пересечения прямой OK с основанием BC. Тогда QL : QN = BL : AN = BC : AD = BO : QD = OH : OK.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим точку H, симметричную точке K относительно прямой EF; через точки K и H проводим прямые l и m, параллельные EF; находим
точки L и N пересечения этих прямых с прямой MO, где M – середина отрезка EF; на продолжении отрезка NL за точку L откладываем такой отрезок LQ, что LQ : QN = OH : OK.
Пусть прямая QE пересекает прямые l и m соответственно в точках A и B, а прямая QF – в точках D и C. Тогда ABCD – искомая трапеция.
Остальные случаи рассматриваются аналогично.
Замечания
Исследование см. в Решениях задачника "Кванта".
