Задача 53883

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Биссектриса угла ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC, все стороны которого различны, биссектриса внешнего угла, смежного с углом ACB, пересекает продолжение стороны BA в точке D (A между B и D). Известно, что  BD – BC = m,  AC + AD = n.  Найдите CD.

Подсказка

Отложите на луче BA отрезок BC₁, равный BC, а на луче AB – отрезок AC₂, равный AC. Треугольники DC₁C и DCC₂ подобны.

Решение

  Отложим на луче BA отрезок BC₁, равный BC, а на луче AB – отрезок AC₂, равный AC. Тогда  DC₁ = m,  DC₂ = n,  а CC₁B и CC₂A – равнобедренные треугольники.
  Пусть α, β и γ – углы треугольника ABC. Тогда  ∠DC₁C = 180° – (90° – ^β/₂) = 90° + ^β/₂,  ∠DCC₂ = ∠DCA + ∠ACC₂ = (90° – ^γ/₂) + ½ (180° – α) = 90° + ^β/₂.  Следовательно, треугольники DC₁C и DCC₂ подобны по двум углам. Поэтому  CD : C₂D = C₁D : CD,  откуда  CD² = C₁D·C₂D = mn.

Ответ

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1648