Задача 53869

Темы:    [ Подобные треугольники (прочее) ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Отрезок BE разбивает треугольник ABC на два подобных треугольника, причём коэффициент подобия равен    Найдите углы треугольника ABC.

Подсказка

Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

Решение

  Угол AEB больше как угла CBE, так и угла BCE. Следовательно,  ∠AEB = ∠BEC = 90°.
  Если  ∠BAE = ∠BCE,  то треугольники BAE и BCE равны, что противоречит условию. Следовательно,  ∠ABE = ∠BCE.  В этом случае
∠B = ∠ABE + ∠CBE = ∠ABE + ∠BAE = 90°.  Кроме того,  ^BC/_AB =   Следовательно,  ∠A = 60°.

Ответ

90°, 60°, 30°.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	1
Название	Подобные треугольники
Тема	Подобные треугольники
параграф
Номер	2
Название	Отношение сторон подобных треугольников
Тема	Отношения линейных элементов подобных треугольников
задача
Номер	01.032
web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1634