Задача 53824

Темы:    [ Подобные треугольники (прочее) ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ] [ Тригонометрические уравнения ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Равнобедренные треугольники ABC  (AB = BC)  и   A₁B₁C₁  (A₁B₁ = B₁C₁)  подобны и  AB : A₁B₁ = 2 : 1.  Вершины A₁, B₁ и C₁ расположены соответственно на сторонах CA, AB и BC, причём   A₁B₁ ⊥ AC.  Найдите угол B.

Подсказка

Докажите, что  A₁C₁ ⊥ BC  и составьте тригонометрическое уравнение относительно угла при основании равнобедренного треугольника ABC.

Решение

  Пусть  A₁B₁ = B₁C₁ = 1,  ∠A = α.  Тогда  ∠A₁C₁C = (90° – α) + α = 90°,  AA₁ = ctg α,  A₁C₁ = 2 cosα,  AC = 2A₁C₁ = 4 cosα,   A₁C = ^A₁C₁/_{sin α} = 2ctg α.
Так как  AC = AA₁ + A₁C,  то  3ctg α = 4cos α,  то есть  sin α = ¾,  откуда  cos∠B = cos(180° – 2α) = – cos 2α = 2sin²α – 1 = ¹/₈.

Ответ

arccos ¹/₈.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1588