Задача 53796

Темы:    [ Подобные треугольники (прочее) ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Основание равнобедренного треугольника равно 12, а боковая сторона равна 18. К боковым сторонам треугольника проведены высоты.
Найдите отрезок, концы которого совпадают с основаниями высот.

Решение

  Пусть AP, BM и CK – высоты треугольника ABC,  AB = AC = 18,  BC = 12,  ∠A = 2α.

  Первый способ.  sin α = ^BP/_AB = ¹/₃,  cos 2α = 1 – 2sin²α = ⁷/₉.  Поэтому угол A – острый, а точки M и K принадлежат сторонам AC и AB.
  Треугольники KAM и BAC подобны с коэффициентом  cos 2α,  поэтому  KM = ⁷/₉ BC = ²⁸/₃.

  Второй способ.  AP² = AB² – BP² = 18² – 6² = 2·12²,  BM = ^BC/_AC·AP = 8,  AM² = AB² – BM² = 324 – 128 = 14².
  Из подобия получаем, что KM = ^BC/_AC·AM = ²⁸/₃.

Ответ

²⁸/₃.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1560