Задача 53780

Темы:    [ Признаки подобия ] [ Вспомогательная окружность ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

На стороны BC и CD параллелограмма ABCD (или на их продолжения) опущены перпендикуляры AM и AN.
Докажите, что треугольник MAN подобен треугольнику ABC.

Подсказка

Рассмотрите подобные прямоугольные треугольники AMB и AND.

Решение

  Первый способ. Пусть  ∠A = α < 90°.  Тогда прямоугольные треугольники AMB и AND подобны, так как  ∠ABM = ∠ADN = α.  Следовательно,
AM : AN = AB : AD = AB : BC,  а так как  ∠MAN = 180° – ∠BCD = 180° – α = ∠ABC,  то треугольники MAN и ABC подобны по двум сторонам и углу между ними.

  Второй способ. Из точек M и N диагональ AC видна под прямым углом, поэтому точки M и N лежат на окружности с диаметром AC. Значит,
∠AMN = ∠ACN = ∠BAC,  ∠ANM = ∠ACM = ∠ACB.
  Следовательно, MAN и ABC подобны по двум углам.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1544