Задача 53769

Темы:    [ Средняя линия треугольника ] [ Центр масс ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

AA₁ – медиана треугольника ABC. Точка C₁ лежит на стороне AB, причём  AC₁ : C₁B = 1 : 2.  Отрезки AA₁ и CC₁ пересекаются в точке M.
Найдите отношения  AM : MA₁  и  CM : MC₁.

Решение

  Первый способ. Через точку A₁ проведём прямую, параллельную CC₁ до пересечения с AB в точке K. A₁K – средняя линия треугольника CBC₁, поэтому  CC₁ = A₁K,  BK = KC₁ = AC₁.
  Следовательно, MC₁ – средняя линия треугольника A₁AK₁, значит,   MC₁ = ½ A₁K = ¼ CC₁,  а  AM = MA₁.

  Второй способ. Через в точки B и C единичные массы, а в точку A – массу 2. Тогда M – центр тяжести полученной системы материальных точек. Заменив массы B и C массой 2, помещённой в точку A₁, получим  AM : MA₁ = 2 : 2.  Заменив массы A и B массой 3, помещённой в точку C₁, получим  CM : MC₁ = 3 : 1.

Ответ

1 : 1;  3 : 1.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1533