Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дан квадрат $ABCD$ с центром $O$. Из точки $P$, лежащей на меньшей дуге $CD$ описанной около квадрата окружности, проведены касательные к его вписанной окружности, пересекающие сторону $CD$ в точках $M$ и $N$. Прямые $PM$ и $PN$ пересекают отрезки $BC$ и $AD$ соответственно в точках $Q$ и $R$. Докажите, что медиана треугольника $OMN$ из вершины $O$ перпендикулярна отрезку $QR$ и равна его половине.

   Решение

Темы:    [ Признаки подобия ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

ABCD – данный параллелограмм. Через точку пересечения его диагоналей проведена перпендикулярная к BC прямая, которая пересекает BC в точке E, а продолжение AB – в точке F. Найдите BE, если  AB = a,  BC = b  и  BF = c.

Подсказка

Если K – точка пересечения прямых EF и AD, то треугольники FBE и FAK подобны.

Решение

  Пусть O – точка пересечения диагоналей, K – точка пересечения прямых EO и AD, x – искомый отрезок. Отрезки KD и BE симметричны относительно точки O, поэтому KD = BE = x,  а  AK = AD – KD = b – x.
  Из подобия треугольников FBE и FAK следует, что   BE : AK = BF : AF,  или     Отсюда  x = ^bc/_a+2c.

Ответ

^bc/_a+2c.

Источники и прецеденты использования