Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что если на плоскости даны какая-нибудь окружность S и ее центр O, то с помощью одной линейки можно:
а) из любой точки провести прямую, параллельную данной прямой, и опустить на данную прямую перпендикуляр;
б) на данной прямой от данной точки отложить отрезок, равный данному отрезку;
в) построить отрезок длиной ab/c, где a, b, c — длины данных отрезков;
г) построить точки пересечения данной прямой l с окружностью, центр которой — данная точка A, а радиус равен длине данного отрезка;
д) построить точки пересечения двух окружностей, центры которых — данные точки, а радиусы — данные отрезки.

   Решение

Темы:    [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

Решение

Пусть CD – биссектриса треугольника ABC.

Первый способ. Проведём через вершину A прямую, параллельную BC, и продолжим биссектрису до пересечения с этой прямой в точке K (рис. слева). Поскольку  ∠ACK = ∠KCB = ∠CKA,  треугольник CAK равнобедренный,  AK = AC.  Из подобия треугольников ADK и BDC следует, что  AC : BC = AK : BC = AD : DB.

Второй способ.  AD : DB = S_ADC : S_BDC = AC sin∠ACD : BC sin∠BDC = AC : BC.

Источники и прецеденты использования