Задача 53738

Темы:    [ Признаки подобия ] [ Перенос стороны, диагонали и т.п. ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Боковая сторона AB трапеции ABCD разделена на пять равных частей, и через третью точку деления, считая от точки B, проведена прямая, параллельная основаниям BC и AD. Найдите отрезок этой прямой, заключённый между сторонами трапеции, если  BC = a  и  AD = b.

Подсказка

Проведите диагональ трапеции.

Решение

  Пусть M – данная точка на AB  (BM : AM = 3 : 2),  MN – искомый отрезок. Тогда по теореме Фалеса  CN : DN = BM : AM = 3 : 2.

  Первый способ. Проведём диагональ AC и обозначим через K точку её пересечения с MN (рис. слева). Из подобия треугольников AMK и ABC находим, что  MK = ²/₅ a,  а из подобия треугольников CKN и CAD –  KN = ³/₅ b.  Следовательно,  MN = MK + KN = ²/₅ a + ³/₅ b = ¹/₅ (2a + 3b).

  Второй способ. Пусть  a < b.  Через вершину C проведём прямую, параллельную боковой стороне AB. Пусть P – точка её пересечения с основанием AD, а Q – с отрезком MN (рис. справа).
  Из подобия треугольников CQN и CPD находим, что  QN = ³/₅ PD = ³/₅ (b – a).  Значит,  MN = b + ³/₅ (b – a) = ¹/₅ (2a + 3b).
  Аналогично для  a > b.

Ответ

¹/₅ (2a + 3b).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1502