Задача 53721

Темы:    [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Около треугольника ABC описана окружность с центром O; M – середина дуги, не содержащей точки A.
Докажите, что угол OMA равен полуразности углов C и B треугольника ABC.

Подсказка

Выразите углы равнобедренного треугольника AOB через углы треугольника ABC.

Решение

Обозначим углы A, B и C треугольника ABC через α, β и γ соответственно. Пусть  γ > β.  Поскольку AM – биссектриса угла BAC, то  ∠AOM = α + 2β.  Из равнобедренного треугольника AOM находим, что  ∠OMA = ½ (180° – ∠AOM) = ½ (180° – α – 2β) = ½ (γ + β – 2β) = ½ (γ – β).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1455