Информация о задаче

Задача 53710

Темы:	[	Диаметр, хорды и секущие	]
Темы:	[	Прямоугольные треугольники	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

AB — диаметр окружности, AC и BD — параллельные хорды этой окружности. Докажите, что AC = BD и CD — также диаметр окружности.

Подсказка

Пусть O — центр окружности. Тогда равнобедренные треугольники AOC и BOD равны.

Решение

Первый способ.

Пусть O — центр окружности. Тогда треугольники AOC и BOD равны (равнобедренные треугольники с соответственно равными боковыми сторонами и углами при основаниях). Поэтому AC = BD и $\angle$ AOC = $\angle$ BOD. Следовательно, прямая BC проходит через точку O.

Второй способ.

Поскольку AB — диаметр, то

$\displaystyle \angle$ ACB = $\displaystyle \angle$ ADB = 90^o.

Кроме того, поскольку AC $\Vert$ BD, то

$\displaystyle \angle$ CAB = $\displaystyle \angle$ ABD,

значит, прямоугольные треугольники ACB и BDA равны по гипотенузе и острому углу. Поэтому AC = BD, а т.к.

$\displaystyle \angle$ CAD = $\displaystyle \angle$ CAB + $\displaystyle \angle$ BAD = $\displaystyle \angle$ CAB + $\displaystyle \angle$ ABC = 90^o.

то CD — диаметр окружности.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1444