Задача 53708

Темы:    [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Автор: Произволов В.В.

Взаимно перпендикулярные прямые l и m пересекаются в точке P окружности так, что они разбивают окружность на три дуги. Отметим на каждой дуге такую точку, что проведённая через неё касательная к окружности пересекается с прямыми l и m в точках равноотстоящих от точки касания. Докажите, что три отмеченные точки являются вершинами равностороннего треугольника.

Решение

Пусть A и B – точки пересечения прямых l и m с данной окружностью, дуга PA равна 3α, прямая n – касательная в точке R, а K, L – точки пересечения n с l и m соответственно (см. рис.).

Тогда PR – медиана прямоугольного треугольника PKL, проведённая к гипотенузе, откуда следует, что оба треугольника PRK и PRL – равнобедренные. Поскольку  ∠LPR = 2∠APR,  а эти углы измеряются половинами дуг AR и PR, то дуга PR составляет 2α. Аналогичное рассуждение проходит для дуги PB и лежащей на ней точки T. Ясно, что в сумме дуги PA и PB составляют половину окружности, значит, дуга RT составляет треть окружности. Рассуждения для точки S аналогичны.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1442
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	16
Дата	1994/1995
вариант
Вариант	осенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер	3