Задача 53692

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Взаимное расположение двух окружностей ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Центры трёх окружностей, попарно касающихся друг друга внешним образом, расположены в вершинах прямоугольного треугольника. Эти окружности касаются изнутри четвёртой окружности. Найдите радиус четвёртой окружности, если периметр прямоугольного треугольника равен 2p .

Решение

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC ( C = 90^o ), в вершинах которого расположены центры окружностей. Обозначим радиусы этих окружностей через r1 , r2 , r3 , причём

AC = r1 + r2, BC = r1 + r3, AB = r2 + r3.
Построим окружность радиуса p с центром в вершине D прямоугольника ACBD . Поскольку
DC = AB = r2 + r3 = p - r1, DA = p - r2, DB = p - r3,
то окружности с центрами в точках C , A и B касаются изнутри окружности с центром в точке D . Осталось доказать, что найденная окружность единственная.

Ответ

p .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1426